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平成31年度都立高入試問題 数学 大問5

大問5番は、立体図形問題です。小さいころから積み木やパズルで遊ぶことが好きな子はこのような問題は解けますね。立体模型で遊ぶことは空間把握能力を鍛えることになるので。

 

さて、(問1)です。

 

点Qと頂点Cと頂点Dを結ぶと切断断面図の三角形バージョンができます。上から見ると、底辺は正三角形なので、点Pが中点ならば二等辺三角形になります。

断面図三角形(QCD)の底辺(CD)は6cmで問題ありませんが、QCとQD(2つとも同じ)の長さですね。

横から三角形ABCを見ると、BQが3cm、ということは3cm、6cmと斜辺xcmの直角三角形を三平方の定理で導きます。

 

3の2乗+6の2乗=xの2乗

これを解いて、x=3√5

 

次は、切断三角形QCDを半分に切ります。QPですね。

すると、角CPQは直角なので、直角三角形の出来上がり。また、三平方の定理登場。

QPをyとして、3√5の2乗+3の2乗=yの2乗

これをyについて解くと、+-6 よって6cmが正解

 

(問2)

 

さあ、最難題です。頭の中で図形をいろいろ回したり、、、そのうち、わかわかめになります。。。

 

ひとまず、裏紙で作ってみました。

問題に書いてある向きですとこんな感じ。↑↑

↑ 立てた状態で反対側から見た感じ

で、底辺を面ABCにして斜め上から撮りました。

頂点Aを左にして横にすると、2等辺三角形(面ACD)を見るため、点Rの高さが図れません。うーん、と思い、紙で立体を作成して反対向き(上記図)にしたら「おー!」となりました。

面BDAは直角三角形ですので、ここで中点連結定理が使えます。

 

ただ、この面をそのまま使ってはいけません。

 

高さは頂点Dから辺BCの中点に下ろした線になります。まずはこの長さを出します。(Zとします)

3の2乗+Zの2乗=6の2乗

これを解いて、Z=3√3

で、点RはADの中点なので、その半分。3√3/2となります。これで、三角錐の高さが出ました。

 

あとは、底辺(三角形AQP)を求めます。これは簡単なので、解説省略。

計算すると、底辺は24

 

よって、24×2分の3√3×1/3(推だから)=12√3

 

めでたしめでたし