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平成31年度都立高入試問題 数学 大問4

では続いて大問4の平面図形問題です。

 

(問1)

平行四辺形であれば、同位角、錯覚が使えますね。

まず、角ADCは対角の角ABCと同じ50°です。

三角形APDで見たときに、角APCは角APDの外角です。よって、

角APC=角DAP+角ADP となります。

なので、(a+50)度 (イ)が正解。

 

(問2)①

証明問題ですが、模範解答にありますので省略します。

ポイントは、2組の角がそれぞれ等しい、という相似条件を導くことです。

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(問2)②

一見、「はぁ?」という問題ですね。三角形を対比して面積比で導く問題は多々ありますが、ただの四角形では、どうやって・・・??と、少し考えました。。。

 

しかし、やはり相似な三角形と相似比で求められる問題には変わりません。

 

まず、説明がややこしくなるので、以下の通りとしますね。

三角形AQRを「X」、三角形ABPを「Y」とします。

で、大事なことは補助線を引くことです。

頂点Aから線RCと平行な線を引き、線BPとの交点を点tとします。

それで、それぞれの線分比を①と②で書きました。

解き方のポイントは、問われているものを見て、三角形AQRの何倍?とあるので、基準を三角形AQR(X)とすることです。

 

では、いきます。

面積比 X:Y=4:9   Y=9/4X …①

 

三角形AtP=Y(9/4X)×2/3 =3/2A

※Bt:Ptが①:②なので面積比も1:2になります。

 

三角形RSP=3/2A×1/9=1/6A …②

※1/9は面積比です。

 

X:Y=4:9なので、四角形QBPR:Y=5:9  5Y=QBPR×9  QBPR=5/9Y

四角形QBPR=5/9YのYに①を代入。

9/4X×5/9=5/4X …③

 

さあ、ラストです。

四角形QBPR-三角形RSP=③-②

5/4X-1/6X=13/12X

 

よって、答えは13/12

です。

 

めでたし。